Historia de la geometría

La geometría surge de una necesidad básica de comprender y medir las formas que nos rodean. El término "geometría" proviene del griego y se traduce como "medir la tierra". Esencialmente, es la disciplina que estudia las formas y tamaños de los objetos y espacios.

La relevancia de la geometría en la historia puede rastrearse hasta el antiguo Egipto. Se piensa que adquirió una particular importancia durante un periodo en el que el faraón egipcio necesitaba implementar un sistema de tributación a los agricultores del valle del río Nilo. Para determinar la cuantía adecuada de impuestos, era esencial medir la extensión de las tierras cultivadas. Esta necesidad práctica llevó al desarrollo de técnicas y herramientas de medición, sentando así las bases de lo que hoy conocemos como geometría.

Desde una perspectiva puramente matemática, la geometría se encarga del estudio de las relaciones entre ciertas magnitudes básicas: longitud, latitud, profundidad y abertura angular. Adicionalmente, considera dos magnitudes compuestas: superficie y volumen. Es la rama de las matemáticas que analiza y comprende el espacio y las figuras que pueden habitarlo.

Nuestro entorno está repleto de formas geométricas. Desde simples círculos y triángulos, hasta estructuras más complejas como pentágonos, hexágonos y decaedros; sin olvidar las fascinantes espirales que se manifiestan en distintos fenómenos naturales. Estudiar estas formas no solo nos brinda una comprensión más profunda del mundo que nos rodea, sino que también ha sido fundamental para el avance de diversas disciplinas y tecnologías a lo largo de la historia.

¿Qué es la geometría?

La geometría es una disciplina matemática que se originó a partir de las actividades empíricas de antiguas civilizaciones para satisfacer sus demandas cotidianas. Los griegos desempeñaron un papel esencial en las primeras sistematizaciones de esta materia, con figuras notables como Platón y Eudoxo, quienes le otorgaron un carácter distintivo, situándola como una rama prominente dentro de las matemáticas.

Este campo se encarga del estudio de las propiedades, medidas y extensiones. Su nacimiento, con una perspectiva eminentemente práctica, se remonta a la etimología griega de la palabra, proveniente de "geo", que significa tierra, y "metrein", que se refiere a medir. Este enfoque pragmático se reflejaba en la necesidad de medir parcelas de tierra para su correcta distribución. Es interesante notar que el término latino "agrimensura" comparte este significado. Sin embargo, con la evolución de la geometría hacia una ciencia más teórica, el término agrimensura se ha reservado para la técnica específica de medición de terrenos.

Además, la geometría no se limita solo a la medición de la tierra. Se extiende al estudio exhaustivo de las formas de diversos objetos encontrados en la naturaleza, analizando sus posiciones, relaciones y las propiedades asociadas a dichas formas.

El origen de la geometría

La geometría comenzó como un conjunto de normas destinadas al cálculo de longitudes, áreas y volúmenes. Estas primeras nociones, en muchos casos, eran aproximaciones rudimentarias obtenidas por ensayo y error. Este compendio de saberes, utilizado en construcción, navegación y topografía, se originó en civilizaciones como la babilónica y la egipcia, y fue heredado posteriormente por los griegos.

Aunque el historiador griego Heródoto (siglo V a.C.) atribuye a los egipcios la creación de la geometría, existen numerosas pruebas que señalan que tanto los babilonios como las civilizaciones hindúes y chinas ya poseían gran parte de ese conocimiento antes de transmitírselo a los egipcios.

Entre el 2,000 y 1,600 a.C., los babilonios ya tenían un conocimiento profundo en áreas como la navegación y la astronomía, disciplinas que indudablemente requerían de una base sólida en geometría. Las tabletas de arcilla de las culturas sumerias (2100 a.C.) y babilónicas (1600 a.C.) contienen tablas para calcular productos, recíprocos, cuadrados, raíces cuadradas y otras funciones matemáticas esenciales para cálculos financieros.

Los babilonios no solo conocían cómo calcular las áreas de rectángulos, triángulos rectángulos e isósceles, trapezoides y círculos, sino que también desarrollaron métodos propios para ello. Por ejemplo, para obtener el área de un círculo, tomaban el cuadrado de la circunferencia y lo dividían por doce. Además, son acreditados por dividir la circunferencia de un círculo en 360 partes iguales. Otro hecho notable es que utilizaban el Teorema de Pitágoras mucho antes de que este matemático griego lo formalizara. Los babilonios también efectuaban cálculos que involucraban razones y proporciones y analizaban las relaciones entre los elementos de diversos triángulos. Para una comprensión más profunda sobre las contribuciones matemáticas de los babilonios, se pueden consultar los anexos A y B.

Los egipcios tuvieron un rol fundamental en los inicios de la geometría, empleándola para efectuar mediciones de tierras. En su territorio, el río Nilo se caracteriza por desbordarse cada año, provocando inundaciones que, si bien son favorables para la fertilidad del suelo, obligan a redefinir los linderos de las propiedades anualmente. Después de cada desbordamiento, se realizaban rigurosas mediciones para reinstaurar las fronteras de los campos y parcelas.

Un elemento esencial en estas mediciones era la habilidad de señalar las esquinas de los terrenos en ángulos rectos. Esta necesidad llevó a los egipcios a familiarizarse con ciertas propiedades de los triángulos rectángulos, aunque no las estructuraran tan formalmente como lo hicieron culturas subsiguientes.

El impacto de estas prácticas egipcias trascendió su tiempo y territorio. Estas técnicas y saberes formaron la piedra angular de lo que más adelante sería la geometría griega. Los griegos, aprovechando este legado, instauraron un enfoque deductivo en la geometría, buscando reglas y principios fundamentales que otorgaran coherencia y sofisticación al área.

Sin embargo, es esencial destacar que los progresos de los egipcios no solo se circunscribieron a la medición de tierras. Su destreza en geometría también se manifiesta en imponentes obras arquitectónicas, siendo las pirámides el ejemplo más destacado. Estas imponentes construcciones son reconocidas, aún en nuestros días, como una de las maravillas del mundo y evidencian la profunda comprensión y aplicación de la geometría por parte de la civilización egipcia.

Geometría griega como ciencia 

La historia de la geometría como ciencia independiente, sobre bases rigurosas, corresponde a los griegos Pitágoras, Euclides, Arquímedes y Apolonio.

Sin embargo, todavía podemos ver una visión general decente y también comenzar a ver algunos de los grandes nombres, los matemáticos griegos que darían forma al curso de la geometría griega.

El primero, y uno de los nombres más importantes, es Tales de Mileto, un matemático que vivió en el siglo VI a. Se le considera como el padre de la geometría y comenzó el proceso de usar la deducción de los primeros principios.

 Se cree que viajó a Egipto y Babilonia, recogiendo técnicas geométricas de estas culturas, y ciertamente habría tenido acceso a su trabajo.

Tales de Mileto creía firmemente que el razonamiento debería reemplazar la experimentación y la intuición, y comenzó a buscar principios sólidos sobre los cuales pudiera construir teoremas.

Esto introdujo la idea de prueba en la geometría y propuso algunos axiomas que creía que eran verdades matemáticas.

• Un círculo está bisecado por cualquiera de sus diámetros.
• Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales
• Cuando dos líneas rectas se cruzan, los ángulos opuestos son iguales
• Un ángulo dibujado en un semicírculo es un ángulo recto
• Dos triángulos con un lado igual y dos ángulos iguales son congruentes

A Tales de Mileto se le atribuye el diseño de un método para encontrar la altura de un barco en el mar, una técnica que utilizó para medir la altura de una pirámide, para deleite de los egipcios.

Para esto, tenía que entender la proporción y posiblemente las reglas que gobiernan triángulos similares, uno de los elementos básicos de la trigonometría y la geometría.

No está claro exactamente cómo Tales de Mileto decidió que los axiomas anteriores eran pruebas irrefutables, pero se incorporaron al cuerpo de las matemáticas griegas y la influencia de Tales de Mileto influiría en innumerables generaciones de matemáticos.

Pitágoras en la historia de la geometría

Probablemente el nombre más famoso durante el desarrollo de la geometría griega es Pitágoras, aunque solo sea por la famosa ley relativa a los triángulos en ángulo recto.

 Este matemático vivía en una sociedad secreta que asumió una misión semirreligiosa.

A partir de esto, los pitagóricos desarrollaron una serie de ideas y comenzaron a desarrollar trigonometría. Los pitagóricos agregaron algunos nuevos axiomas a la tienda de conocimiento geométrico.

• La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos * (180o).
• La suma de los ángulos externos de un triángulo es igual a cuatro ángulos rectos (360o).
• Otro es la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono es igual a 2n-4 ángulos rectos, donde n es el número de lados.
• La suma de los ángulos exteriores de un polígono es igual a cuatro ángulos rectos, sin embargo, muchos lados.
• Los tres polígonos, el triángulo, el hexágono y el cuadrado llenan completamente el espacio alrededor de un punto en un plano: seis triángulos, cuatro cuadrados y tres hexágonos. En otras palabras, puede enlosar un área con estas tres formas, sin dejar espacios ni superposiciones.
• Para un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

La mayoría de estas reglas son instantáneamente familiares para la mayoría de los estudiantes, como principios básicos de geometría y trigonometría. Uno de sus alumnos, Hipócrates, llevó más lejos el desarrollo de la geometría.

Fue el primero en comenzar a usar técnicas geométricas en otras áreas de las matemáticas, como resolver ecuaciones cuadráticas, e incluso comenzó a estudiar el proceso de integración.

Estudió el problema de la cuadratura del círculo (que ahora sabemos que es imposible, simplemente porque Pi es un número irracional). Resolvió el problema de la cuadratura de luna y mostró que la proporción de las áreas de dos círculos igualaba la relación entre los cuadrados de los radios de los círculos.

Euclides en la historia de la geometría

Junto a Pitágoras, Euclides un nombre muy famoso en la historia de la geometría griega. Reunió el trabajo de todos los matemáticos anteriores y creó su trabajo emblemático, 'Los elementos', seguramente uno de los libros más publicados de todos los tiempos.

En este trabajo, Euclides expuso el enfoque para la geometría y las matemáticas puras en general, y propuso que todas las afirmaciones matemáticas deberían probarse mediante el razonamiento y que no se necesitaban medidas empíricas. Esta idea de prueba aún domina las matemáticas puras en el mundo moderno.

Arquímedes

Arquímedes fue un gran matemático y fue un maestro en la visualización y manipulación del espacio. Perfeccionó los métodos de integración y diseñó fórmulas para calcular las áreas de muchas formas y los volúmenes de muchos sólidos.

A menudo usaba el método del agotamiento para descubrir fórmulas. Por ejemplo, encontró una manera de calcular matemáticamente el área debajo de una curva parabólica;

Calculó un valor para Pi con mayor precisión que cualquier matemático anterior; y demostró que el área de un círculo es igual a Pi multiplicado por el cuadrado de su radio. También mostró que el volumen de una esfera es dos tercios del volumen de un cilindro con la misma altura y radio. Este último descubrimiento fue grabado en su lápida.

Apolonio de Perga (262 - 190 aC)

Apolonio era matemático y astrónomo, y escribió un tratado llamado "Secciones cónicas". A Apolonio se le atribuye la invención de las palabras elipse, parábola e hipérbola, ya menudo se le conoce como el Gran Geómetro.

 También escribió extensamente sobre las ideas de tangentes a curvas, y su trabajo sobre cónicas y parábolas influiría en los estudiosos islámicos posteriores y su trabajo sobre la óptica.

La geometría griega y su influencia.

La geometría griega finalmente pasó a manos de los grandes eruditos islámicos, quienes la tradujeron y la agregaron. En este estudio de la geometría griega, hubo muchos más matemáticos y geometristas griegos que contribuyeron a la historia de la geometría, pero estos nombres son los verdaderos gigantes, los que desarrollaron la geometría tal como la conocemos hoy.

Rene Descartes

No hubo desarrollos importantes en la historia de la geometría hasta la aparición de Rene Descartes (1596–1650). En su famoso discurso sobre el método de conducir correctamente la razón en la búsqueda de la verdad en las ciencias, Descartes combinó álgebra y geometría para crear una geometría analítica.

La geometría analítica, también conocida como geometría de coordenadas, implica colocar una figura geométrica en un sistema de coordenadas para ilustrar pruebas y obtener información mediante ecuaciones algebraicas.

Carl Friedrich Gauss

El siguiente gran desarrollo en la historia de la geometría vino con el desarrollo de la geometría no euclidiana. Carl Friedrich Gauss (1777–1855), quien junto con Arquímedes y Newton es considerado como uno de los tres matemáticos más grandes de todos los tiempos, inventó la geometría no euclidiana antes del trabajo independiente de Janos Bolyai (1802–1860) y Nikolai Lobachevsky (1792-1856).

La geometría no euclidiana generalmente se refiere a cualquier geometría que no se base en los postulados de Euclides, incluidas las geometrías para las cuales no se satisface el postulado paralelo.

El postulado paralelo establece que a través de un punto dado no en una línea, hay una y solo una línea paralela a esa línea. La geometría no euclidiana proporciona la base matemática para la Teoría de la Relatividad de Einstein.

El desarrollo más reciente en la historia de la geometría es la geometría fractal. La geometría fractal fue desarrollada y popularizada por Benoit Mandelbrot en su libro de 1982, La geometría fractal de la naturaleza.

Un fractal es una forma geométrica, que es auto-similar (invarianza bajo un cambio de escala) y tiene dimensiones fraccionarias (fractal). Similar a la teoría del caos, que es el estudio de sistemas no lineales;

Los fractales son muy sensibles a las condiciones iniciales, donde un pequeño cambio en las condiciones iniciales de un sistema puede llevar a resultados dramáticamente diferentes para ese sistema.

Elementos de la geometría

En la geometría hay ciertos elementos fundamentales: el punto, la recta, el plano y el espacio, entre otros. Estos objetos no tienen definición, pero tienen características que permiten su identificación.

Usando estos elementos de la geometría, se definen las primeras formas geométricas del plano: segmentos de línea, polígonos y ángulos. A partir de ellos, se realiza la definición de distancia entre dos puntos, de la cual depende la definición de círculo. Todo esto sirve de base para la construcción de la geometría espacial.

La geometría también es responsable de las propiedades de figuras geométricas. Estas propiedades no son más que los resultados de las relaciones analizadas en objetos geométricos y figuras. Una propiedad de las circunferencias, por ejemplo, es la siguiente: el resultado de dividir el perímetro de un círculo de su diámetro siempre será π (aproximadamente 3.14).

Así, la geometría se construye relacionando objetos básicos para obtener objetos más elaborados. Estos están relacionados entre sí para alcanzar objetos aún más elaborados, etc.

Divisiones de geometría

Actualmente la geometría se divide en dos conjuntos: Geometría euclidiana y Geometrías no euclidianas.

Geometrías no euclidianas

Euclides, un gran matemático y escritor, probablemente vivió en el siglo III aC y se le llama el padre de la geometría. Fue el primero en reunir toda la geometría en una sola pieza, llamada "Los Elementos". Este matemático basó la geometría plana en cinco postulados.

El quinto de estos postulados es mucho más sofisticado que los otros cuatro. Esto generó dudas entre los matemáticos desde su época hasta mediados del siglo XIX, cuando Lobachevsky, un matemático ruso, decidió reconstruir la geometría, pero utilizando la negación del quinto postulado de Euclides.

Este postulado decía: Para un punto fuera de una línea pasa una sola línea paralela a la línea dada. Lobachevsky consideró lo contrario: para un punto fuera de una línea pasa más de una línea paralela a la línea dada.

Los objetos geométricos y las figuras se definen de la misma manera que en la geometría plana, la única diferencia es realmente el quinto postulado.

Los resultados obtenidos por Lobachevsky se dividen de la siguiente manera: aquellos que no dependen del quinto axioma de Euclides son idénticos a la geometría tradicional. Los que dependen son diferentes. Por ejemplo, la suma de los ángulos internos de un triángulo en geometrías construidas a partir de Lobachevsky no es igual a 180 °.

Los estudios de Lobachevsky dieron origen a la geometría rhiemanniana y abrieron una puerta para la construcción de otras geometrías completamente distintas de la geometría plana y espacial que conocemos. El hecho más interesante es que sus resultados tienen muchas aplicaciones en la vida cotidiana.

Geometría euclidiana

Es la geometría discutida en la escuela primaria y secundaria y la única geometría conocida por el hombre hasta mediados del siglo XIX. La geometría euclidiana se divide en las siguientes subáreas:

Geometría plana: todas las figuras, formas y definiciones están hechas para objetos que pertenecen al plano, es decir, tienen solo el ancho y la longitud, pero no la profundidad.

Los conceptos discutidos por la geometría plana son: punto, línea, plano, posiciones relativas, distancia entre dos puntos, ángulos, polígonos, áreas y trigonometría, entre otros.

Geometría espacial: los objetos pertenecen al espacio tridimensional, es decir, ahora existe la posibilidad de considerar su profundidad.

Los conceptos discutidos en la geometría espacial son todos de geometría plana, así como planos, poliedros y cuerpos redondos.

Geometría analítica: Subárea que relaciona la geometría con el álgebra y usa una para resolver problemas que surgen de la otra.

Los conceptos discutidos en geometría analítica son: todos los conceptos y definiciones de geometría plana y espacial desde un punto de vista algebraico, coordenadas, vectores, matrices, cuadráticas y sólidos de revolución, entre otros.

Geometría y Profeciones 

En la actualidad, profesiones como la ingeniería, el arte y otras, implementan la geometría para mejorar diseños, funciones y estudiar las formas de los objetos.

Existen diversas ramas dentro de la geometría, siendo la geometría analítica una de las más utilizadas en campos de estudio como la Ingeniería (Producción, Eléctrica, Mecánica, entre otras), Geografía, Cartografía y Astronomía. Estos campos abordan el distanciamiento de fenómenos como meteoros y cometas.

Descartes desarrolló los sistemas de coordenadas, conocidos como coordenadas cartesianas. La Geometría Analítica se centra en la ubicación de puntos y las relaciones entre diferentes ubicaciones. Este estudio es fundamental en el desarrollo de juegos basados en gráficos de computadora y simulaciones para diversas áreas.

Por ejemplo, un ingeniero eléctrico fusiona la Electrotecnia con la Geometría Analítica para crear sistemas de automatización y control del consumo energético en industrias. A través de la Geometría Analítica, se puede planificar la distribución eléctrica de una región, organizando la proximidad de las redes de transmisión, representándolo geométricamente y mediante ecuaciones.

La geometría es esencial en diferentes sectores. La Ingeniería de producción la utiliza para la mejora de procesos, mientras que en Ingeniería Civil se emplea para la construcción de edificios, carreteras, puentes y otras estructuras. La arquitectura, por su parte, aborda el diseño, supervisión y ejecución de obras arquitectónicas y planificación urbana.

En este mundo de constantes avances tecnológicos, es vital preparar a las nuevas generaciones en este conocimiento. La Geometría es un pilar en las Matemáticas, siendo esencial para el desarrollo científico y tecnológico.

Las Matemáticas están presentes en muchas profesiones. Por ejemplo, en Administración, es vital para la planificación, orden y control, ya que el administrador se enfrenta constantemente a números y formas en tablas y gráficos. En Agronomía, la Geometría es fundamental para cálculos relacionados con fertilización y dimensionamiento de áreas.

La Arquitectura no solo requiere Geometría para diseñar y planificar, sino que también es una confluencia de ciencias exactas, humanidades y arte. Las estructuras pueden variar desde diseños redondeados hasta formatos más exóticos.

En el cine, la Geometría también juega un papel vital. Las animaciones usan geometría para representar movimientos de personajes y escenarios. Los softwares crean escenas combinando formas geométricas y codifican información como posición, movimiento, color y textura de cada píxel.

La Geometría está presente en distintas ingenierías, según su área de estudio. Además, es esencial en obras de construcción civil, sistemas de telecomunicaciones, dispositivos mecánicos y desarrollo de máquinas.

La Geografía también integra la Geometría en sus actividades, al igual que la Geología, que la utiliza para entender el suelo y las rocas.

Finalmente, es evidente que las ciencias requieren de las Matemáticas y, en particular, de la Geometría para realizar sus funciones diarias, ya que esta está presente en todos los aspectos de nuestra vida.

Resumen de la evolución histórica de la geometría

Aquí presento un resumen de su evolución histórica:

1. Antiguo Egipto (c. 3000-500 a.C.): Los egipcios necesitaban habilidades geométricas básicas para la construcción de pirámides y para la medición de tierras, especialmente después de las inundaciones anuales del Nilo. Dejaron registros de cálculos geométricos en papiros, como el Papiro de Rhind.
2. Antigua Grecia (c. 600-300 a.C.):
   • Thales de Mileto (c. 624-546 a.C.): Se considera uno de los primeros matemáticos griegos. Usó la geometría para resolver problemas como calcular la altura de las pirámides basándose en las sombras.
   • Pitágoras (c. 570-495 a.C.): Se le atribuye el famoso teorema de Pitágoras, que relaciona los lados de un triángulo rectángulo.
   • Euclides (c. 300 a.C.): Autor de "Los Elementos", una obra en la que sistematizó gran parte del conocimiento geométrico de su época.
3. Antigua Roma (c. 200 a.C.-500 d.C.): Aunque los romanos no hicieron muchas contribuciones originales a la geometría, preservaron y extendieron el conocimiento griego, especialmente en aplicaciones de ingeniería y construcción.
4. Era Islámica (c. 700-1600 d.C.): Los matemáticos del mundo islámico, como Alhacén y Omar Khayyám, hicieron importantes contribuciones a la geometría, tradujeron textos griegos y añadieron sus propios descubrimientos.
5. Edad Media Europea (c. 500-1500 d.C.): Durante la mayor parte de la Edad Media, Europa no vio muchos avances en geometría, pero en la Baja Edad Media, con el redescubrimiento de textos griegos y árabes, comenzó un resurgimiento en el estudio matemático.
6. Renacimiento (c. 1400-1700): El interés en la perspectiva y la anatomía llevó a los artistas y matemáticos del Renacimiento, como Leonardo da Vinci y Albrecht Dürer, a estudiar y aplicar principios geométricos en su trabajo.
7. Siglo XVII-XVIII: Se desarrollaron nuevas ramas de la geometría. Con la invención del cálculo, nació la geometría diferencial. René Descartes estableció la geometría analítica, que unió el álgebra con la geometría.
8. Siglo XIX: La geometría no euclidiana, desarrollada independientemente por Gauss, Lobachevsky y Bolyai, desafió las nociones tradicionales de geometría basadas en "Los Elementos" de Euclides.
9. Siglo XX y XXI: Se ha continuado explorando áreas como la geometría fractal, la topología y la geometría algebraica. La geometría ha encontrado aplicaciones en áreas modernas como la teoría de la relatividad, la computación gráfica y la teoría de cuerdas.

A lo largo de su evolución, la geometría ha sido tanto una herramienta práctica para resolver problemas del mundo real como un campo de estudio puramente abstracto. Ha influenciado y ha sido influenciada por otras áreas de las matemáticas, la ciencia, el arte y la filosofía.