Historia de la geometría

La historia de la geometría comenzó con una necesidad práctica de medir formas. La palabra geometría significa "medir la tierra" y es la ciencia de la forma y el tamaño de las cosas.

Se cree que la geometría cobró importancia por primera vez cuando el faraón egipcio quería gravar a los agricultores que cultivaban cultivos a lo largo del río Nilo. Para calcular la cantidad correcta de impuestos, los agentes del faraón tenían que medir la cantidad de tierra cultivada.

La geometría, considerada desde un punto de vista estrictamente matemático, la ciencia que se ocupa de las relaciones entre cuatro magnitudes simples: longitud, latitud, profundidad y abertura angular, y dos compuestas: superficie y volumen, estudia el espacio y las figuras que pueden ocuparlo. La naturaleza está llena de variadas formas geométricas: círculos, triángulos, cubos, pentágonos, hexágonos, decaedros, espirales.

¿Qué es la geometría?

La geometría es una de las áreas de la matemática que trata de las propiedades y medida de la extensión. En su origen, la geometría tuvo una finalidad eminentemente práctica, como lo revela la etimología griega (de geo, tierra; metrein, medir). La necesidad de medir la tierra para repartir los campos con exactitud dio nacimiento a esta ciencia. El termino latino agrimensura tiene el mismo significado, pero el desarrollo posterior de la geometría, como ciencia teórica, obligo a reservar el concepto de agrimensura a la técnica que se ocupa de la medición de los terrenos.

La geometría es el estudio de las formas de los objetos presentes en la naturaleza, las posiciones ocupadas por estos objetos, relaciones y propiedades relacionadas con estas formas.

El comienzo de la historia de la geometría

Los mas antiguos estudios de la historia de la geometría fueron hechos por los antiguos caldeos y egipcios. Los primeros, aunque no sistematizaron sus estudios, obtuvieron algunos resultados correctos, y los segundos hicieron grandes progresos, como lo demuestra la construcción de las pirámides consideradas hoy como una de las maravillas del mundo.

Los egipcios fueron los primeros que usaron la geometría para medir los terrenos. El Nilo, río que atraviesa su territorio, se desborda todos los años provocando grandes inundaciones, que son aprovechadas en la fertilización de los campos. Los egipcios se veían obligados después de cada inundación a efectuar mediciones para delimitar los campos y terrenos.

Era muy importante para ellos marcar las esquinas de los terrenos en ángulo recto y conocieron prácticamente algunas de las relaciones entre los lados de los triángulos rectángulos.

Sin embargo, estas culturas sentaron las bases de la geometría griega e influenciaron a los griegos, quienes aportarían una metodología deductiva a la geometría, tratando de encontrar reglas elegantes que sustenten el campo.

Geometría griega como ciencia 

La historia de la geometría como ciencia independiente, sobre bases rigurosas, corresponde a los griegos Pitágoras, Euclides, Arquímedes y Apolonio.

Sin embargo, todavía podemos ver una visión general decente y también comenzar a ver algunos de los grandes nombres, los matemáticos griegos que darían forma al curso de la geometría griega.

El primero, y uno de los nombres más importantes, es Tales de Mileto, un matemático que vivió en el siglo VI a. Se le considera como el padre de la geometría y comenzó el proceso de usar la deducción de los primeros principios.

 Se cree que viajó a Egipto y Babilonia, recogiendo técnicas geométricas de estas culturas, y ciertamente habría tenido acceso a su trabajo.

Tales de Mileto creía firmemente que el razonamiento debería reemplazar la experimentación y la intuición, y comenzó a buscar principios sólidos sobre los cuales pudiera construir teoremas.

Esto introdujo la idea de prueba en la geometría y propuso algunos axiomas que creía que eran verdades matemáticas.

• Un círculo está bisecado por cualquiera de sus diámetros.
• Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales
• Cuando dos líneas rectas se cruzan, los ángulos opuestos son iguales
• Un ángulo dibujado en un semicírculo es un ángulo recto
• Dos triángulos con un lado igual y dos ángulos iguales son congruentes

A Tales de Mileto se le atribuye el diseño de un método para encontrar la altura de un barco en el mar, una técnica que utilizó para medir la altura de una pirámide, para deleite de los egipcios.

Para esto, tenía que entender la proporción y posiblemente las reglas que gobiernan triángulos similares, uno de los elementos básicos de la trigonometría y la geometría.

No está claro exactamente cómo Tales de Mileto decidió que los axiomas anteriores eran pruebas irrefutables, pero se incorporaron al cuerpo de las matemáticas griegas y la influencia de Tales de Mileto influiría en innumerables generaciones de matemáticos.

Pitágoras en la historia de la geometría

Probablemente el nombre más famoso durante el desarrollo de la geometría griega es Pitágoras, aunque solo sea por la famosa ley relativa a los triángulos en ángulo recto.

 Este matemático vivía en una sociedad secreta que asumió una misión semirreligiosa.

A partir de esto, los pitagóricos desarrollaron una serie de ideas y comenzaron a desarrollar trigonometría. Los pitagóricos agregaron algunos nuevos axiomas a la tienda de conocimiento geométrico.

• La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos * (180o).
• La suma de los ángulos externos de un triángulo es igual a cuatro ángulos rectos (360o).
• Otro es la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono es igual a 2n-4 ángulos rectos, donde n es el número de lados.
• La suma de los ángulos exteriores de un polígono es igual a cuatro ángulos rectos, sin embargo, muchos lados.
• Los tres polígonos, el triángulo, el hexágono y el cuadrado llenan completamente el espacio alrededor de un punto en un plano: seis triángulos, cuatro cuadrados y tres hexágonos. En otras palabras, puede enlosar un área con estas tres formas, sin dejar espacios ni superposiciones.
• Para un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

La mayoría de estas reglas son instantáneamente familiares para la mayoría de los estudiantes, como principios básicos de geometría y trigonometría. Uno de sus alumnos, Hipócrates, llevó más lejos el desarrollo de la geometría.

Fue el primero en comenzar a usar técnicas geométricas en otras áreas de las matemáticas, como resolver ecuaciones cuadráticas, e incluso comenzó a estudiar el proceso de integración.

Estudió el problema de la cuadratura del círculo (que ahora sabemos que es imposible, simplemente porque Pi es un número irracional). Resolvió el problema de la cuadratura de luna y mostró que la proporción de las áreas de dos círculos igualaba la relación entre los cuadrados de los radios de los círculos.

Euclides en la historia de la geometría

Junto a Pitágoras, Euclides un nombre muy famoso en la historia de la geometría griega. Reunió el trabajo de todos los matemáticos anteriores y creó su trabajo emblemático, 'Los elementos', seguramente uno de los libros más publicados de todos los tiempos.

En este trabajo, Euclides expuso el enfoque para la geometría y las matemáticas puras en general, y propuso que todas las afirmaciones matemáticas deberían probarse mediante el razonamiento y que no se necesitaban medidas empíricas. Esta idea de prueba aún domina las matemáticas puras en el mundo moderno.

Arquímedes

Arquímedes fue un gran matemático y fue un maestro en la visualización y manipulación del espacio. Perfeccionó los métodos de integración y diseñó fórmulas para calcular las áreas de muchas formas y los volúmenes de muchos sólidos.

A menudo usaba el método del agotamiento para descubrir fórmulas. Por ejemplo, encontró una manera de calcular matemáticamente el área debajo de una curva parabólica;

Calculó un valor para Pi con mayor precisión que cualquier matemático anterior; y demostró que el área de un círculo es igual a Pi multiplicado por el cuadrado de su radio. También mostró que el volumen de una esfera es dos tercios del volumen de un cilindro con la misma altura y radio. Este último descubrimiento fue grabado en su lápida.

Apolonio de Perga (262 - 190 aC)

Apolonio era matemático y astrónomo, y escribió un tratado llamado "Secciones cónicas". A Apolonio se le atribuye la invención de las palabras elipse, parábola e hipérbola, ya menudo se le conoce como el Gran Geómetro.

 También escribió extensamente sobre las ideas de tangentes a curvas, y su trabajo sobre cónicas y parábolas influiría en los estudiosos islámicos posteriores y su trabajo sobre la óptica.

La geometría griega y su influencia.

La geometría griega finalmente pasó a manos de los grandes eruditos islámicos, quienes la tradujeron y la agregaron. En este estudio de la geometría griega, hubo muchos más matemáticos y geometristas griegos que contribuyeron a la historia de la geometría, pero estos nombres son los verdaderos gigantes, los que desarrollaron la geometría tal como la conocemos hoy.

Rene Descartes

No hubo desarrollos importantes en la historia de la geometría hasta la aparición de Rene Descartes (1596–1650). En su famoso discurso sobre el método de conducir correctamente la razón en la búsqueda de la verdad en las ciencias, Descartes combinó álgebra y geometría para crear una geometría analítica.

La geometría analítica, también conocida como geometría de coordenadas, implica colocar una figura geométrica en un sistema de coordenadas para ilustrar pruebas y obtener información mediante ecuaciones algebraicas.

Carl Friedrich Gauss

El siguiente gran desarrollo en la historia de la geometría vino con el desarrollo de la geometría no euclidiana. Carl Friedrich Gauss (1777–1855), quien junto con Arquímedes y Newton es considerado como uno de los tres matemáticos más grandes de todos los tiempos, inventó la geometría no euclidiana antes del trabajo independiente de Janos Bolyai (1802–1860) y Nikolai Lobachevsky (1792-1856).

La geometría no euclidiana generalmente se refiere a cualquier geometría que no se base en los postulados de Euclides, incluidas las geometrías para las cuales no se satisface el postulado paralelo.

El postulado paralelo establece que a través de un punto dado no en una línea, hay una y solo una línea paralela a esa línea. La geometría no euclidiana proporciona la base matemática para la Teoría de la Relatividad de Einstein.

El desarrollo más reciente en la historia de la geometría es la geometría fractal. La geometría fractal fue desarrollada y popularizada por Benoit Mandelbrot en su libro de 1982, La geometría fractal de la naturaleza.

Un fractal es una forma geométrica, que es auto-similar (invarianza bajo un cambio de escala) y tiene dimensiones fraccionarias (fractal). Similar a la teoría del caos, que es el estudio de sistemas no lineales;

Los fractales son muy sensibles a las condiciones iniciales, donde un pequeño cambio en las condiciones iniciales de un sistema puede llevar a resultados dramáticamente diferentes para ese sistema.

Elementos de la geometría

En la geometría hay ciertos elementos fundamentales: el punto, la recta, el plano y el espacio, entre otros. Estos objetos no tienen definición, pero tienen características que permiten su identificación.

Usando estos elementos de la geometría, se definen las primeras formas geométricas del plano: segmentos de línea, polígonos y ángulos. A partir de ellos, se realiza la definición de distancia entre dos puntos, de la cual depende la definición de círculo. Todo esto sirve de base para la construcción de la geometría espacial.

La geometría también es responsable de las propiedades de figuras geométricas. Estas propiedades no son más que los resultados de las relaciones analizadas en objetos geométricos y figuras. Una propiedad de las circunferencias, por ejemplo, es la siguiente: el resultado de dividir el perímetro de un círculo de su diámetro siempre será π (aproximadamente 3.14).

Así, la geometría se construye relacionando objetos básicos para obtener objetos más elaborados. Estos están relacionados entre sí para alcanzar objetos aún más elaborados, etc.

Divisiones de geometría

Actualmente la geometría se divide en dos conjuntos: Geometría euclidiana y Geometrías no euclidianas.

Geometrías no euclidianas

Euclides, un gran matemático y escritor, probablemente vivió en el siglo III aC y se le llama el padre de la geometría. Fue el primero en reunir toda la geometría en una sola pieza, llamada "Los Elementos". Este matemático basó la geometría plana en cinco postulados.

El quinto de estos postulados es mucho más sofisticado que los otros cuatro. Esto generó dudas entre los matemáticos desde su época hasta mediados del siglo XIX, cuando Lobachevsky, un matemático ruso, decidió reconstruir la geometría, pero utilizando la negación del quinto postulado de Euclides.

Este postulado decía: Para un punto fuera de una línea pasa una sola línea paralela a la línea dada. Lobachevsky consideró lo contrario: para un punto fuera de una línea pasa más de una línea paralela a la línea dada.

Los objetos geométricos y las figuras se definen de la misma manera que en la geometría plana, la única diferencia es realmente el quinto postulado.

Los resultados obtenidos por Lobachevsky se dividen de la siguiente manera: aquellos que no dependen del quinto axioma de Euclides son idénticos a la geometría tradicional. Los que dependen son diferentes. Por ejemplo, la suma de los ángulos internos de un triángulo en geometrías construidas a partir de Lobachevsky no es igual a 180 °.

Los estudios de Lobachevsky dieron origen a la geometría rhiemanniana y abrieron una puerta para la construcción de otras geometrías completamente distintas de la geometría plana y espacial que conocemos. El hecho más interesante es que sus resultados tienen muchas aplicaciones en la vida cotidiana.

Geometría euclidiana

Es la geometría discutida en la escuela primaria y secundaria y la única geometría conocida por el hombre hasta mediados del siglo XIX. La geometría euclidiana se divide en las siguientes subáreas:

Geometría plana: todas las figuras, formas y definiciones están hechas para objetos que pertenecen al plano, es decir, tienen solo el ancho y la longitud, pero no la profundidad.

Los conceptos discutidos por la geometría plana son: punto, línea, plano, posiciones relativas, distancia entre dos puntos, ángulos, polígonos, áreas y trigonometría, entre otros.

Geometría espacial: los objetos pertenecen al espacio tridimensional, es decir, ahora existe la posibilidad de considerar su profundidad.

Los conceptos discutidos en la geometría espacial son todos de geometría plana, así como planos, poliedros y cuerpos redondos.

Geometría analítica: Subárea que relaciona la geometría con el álgebra y usa una para resolver problemas que surgen de la otra.

Los conceptos discutidos en geometría analítica son: todos los conceptos y definiciones de geometría plana y espacial desde un punto de vista algebraico, coordenadas, vectores, matrices, cuadráticas y sólidos de revolución, entre otros.